Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，DA平分∠BDE．

（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∵DA平分∠BDE，

∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．∴OA∥DE．

∴∠OAE=∠4，

∵AE⊥CD，∴∠4=90°．

∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．

又∵點A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切線

（2）解：∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°．

∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．

又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．

∴ ，

∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．

在Rt△BAD中，根據勾股定理，

得BD= ．

∴⊙O半徑為 ．

【解析】（1）連接半徑，要證切線可證OA⊥AE，利用余角性質和等邊對等角定理可證得∠OAE=90°；（2）可證出△BAD∽△AED，對應邊成比例可得出BD=2AD，BD=2r,可求出⊙O半徑.