Question

如圖，⊙O為△ABC的外接圓，且AB=AC，過點A的直線交⊙O于D，交BC延長線于F，DE是BD的延長線，連接CD．
（1）求證：∠EDF=∠CDF；
（2）求證：AB²=AF•AD；
（3）若BD是⊙O的直徑，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的長．

Answer 1

（1）證明：根據(jù)切割線定理的推論可知：FD•FA=FC•FB
∵∠F=∠F，
∴△FDC∽△FBA，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB（所對的弧相等）
∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，
∴∠EDF=∠CDF；

（2）證明：由（1）已得出∠ADB=∠ABC，
∵∠BAD=∠FAB，
∴△BAD∽△FAB，
∴AD：AB=AB：AF
∴AB²=AF•AD；

（3）解：∵∠EDC=120°，
∴∠EDF=∠CDF=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABD=30°
Rt△ABD中，AB=6cm，∠ABD=30°，
∴AD=AB•tan30°=2（cm），
由（2）知道：AB²=AF•AD，即6×6=AF×2
∴AF=6（cm）．
分析：（1）可根據(jù)切割線定理先得出關(guān)于FD，F(xiàn)A，F(xiàn)C，F(xiàn)B的比例關(guān)系，然后得出三角形FDC和FBA相似，因此可得出∠CDF=∠ABC，∠EDF和∠ADB是對頂角，因此只要證得∠ABC=∠ADB相等即可，AB=AC，∠ABC=∠ACB，而∠ACB和∠ADB又對應(yīng)同一段弧，因此也就相等了，至此便可得出本題的結(jié)論；
（2）關(guān)鍵是證△ABD，△ABF相似，已經(jīng)有一個公共角，根據(jù)（1）中證明的過程我們不難得出∠ABC=∠CDF，得到兩三角形相似后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)比例即可得出所求的結(jié)果；
（3）可根據(jù)（2）的結(jié)果來求AF，關(guān)鍵是求AB，AD的值．如果∠EDC=120°，那么∠EDF=∠ADB=∠ACB=60°，我們得出了△ABC是個等邊三角形，這樣就求出了AB的長，下面求AD的值，直角三角形ABD中，∠ABD=30°，AB=6，因此根據(jù)三角函數(shù)可求出AD的長，然后根據(jù)（2）的結(jié)果便可求出AF的長．
點評：本題主要考查了切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點，通過切割線定理求出三角形相似從而得出角相等是解題的關(guān)鍵．