Question

如圖所示,四個小朋友分別站在正方形ABCD四條邊的A₁、B₁、C₁、D₁處,請探究下列問題:

(1)滿足什么條件時,四個小朋友所站點為頂點的四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形?(只寫探究出的結論)

(2)要使四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形,且面積為大正方形ABCD面積的,則四個小朋友應站在各邊的什么位置上?(寫出證明與計算過程)

Answer 1

答案：
解析：

(1)解:AA1=BB1=CC1=DD1(答案不唯一) (2)由(1)知當AA′=BB′=CC′=DD′時,四邊形A1B1C1D1是正方形. 證明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠B=∠C=90°,AA1=BB1. ∴AB—AA1=BC—BB1,A1B=B1C,BB1=CC1. ∴Rt△A1BB1≌RtB1CC1,A1B1=B1C1,∠A1B1B=∠B1C1C. ∵∠B1C1C+∠C1B1C=90°, ∴∠A1B1B+∠C1B1C=90°.∴∠A1B1C1=90°. 同理A1B1=A1D1=D1C1=B1C1,即四邊形A1B1C1D1是正方形. 設大正方形ABCD邊長為1,AA1=x(0<x<1), 則A1B=1—x,BB1=x. A1B12=A1B2+BB12=(1—x)2+x2=1—2x+2x2. A1B12=·AB2=. ∴2x2—2x+=0. 解得x1=,x2=. 四位小朋友應站在分別距A、B、C、D四點是邊長的或的A1、B1、C1、D1處.