Question

1．如圖，頂點M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為2，連結AM、BM．
（1）求拋物線的函數關系式；
（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可分別求得A、B的坐標，設出拋物線解析式，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）結合（1）中A、B、C的坐標，根據勾股定理可分別求得AB、AM、BM，可得到AB²+AM²=BM²，可判定△ABM為直角三角形．

解答 解：（1）∵A點為直線y=x+1與x軸的交點，
∴A（-1，0），
又B點橫坐標為2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B（2，3），
∵拋物線頂點在y軸上，
∴可設拋物線解析式為y=ax²+c，
把A、B兩點坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{4a+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-1；

（2）△ABM為直角三角形．理由如下：
由（1）拋物線解析式為y=x²-1，可知M點坐標為（0，-1），
∴AM²=1²+1²=2，AB²=（2+1）²+3²=18，BM²=2²+（3+1）²=20，
∴AM²+AB²=2+18=20=BM²，
∴△ABM為直角三角形．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，勾股定理及其逆定理等知識點．在（1）中確定出A、B兩點的坐標是解題的關鍵，在（2）中分別求得AB、AM、BM的長是解題的關鍵．本題考查知識點較為基礎，難度適中．