Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BC，若點P為線段BC上的一個動點（不與點B、點C重合），過點P作直線PN⊥x軸于點N，交拋物線于點M，當△BCM面積最大時，求△BPN的周長．

（3）在（2）的條件下，當△BCM面積最大時，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△CNQ為等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2） （3）見解析

【解析】

（1）將A、B點坐標代入到解析式中求解即可；

（2）求得直線BC的解析式，然后求出△BCM的表達式，是一個二次函數，求出其取最大值的條件；然后利用勾股定理求出△BPN的周長；

（3）C、N坐標已知設點Q坐標為（1，a），根據兩點之間的距離公式表示出CQ、QN、CN然后分三種情況：①CQ＝QN；②CQ＝CN；③QN＝CN進行列式解答.

解：（1）將點A（﹣1，0）、B（3，0）坐標代入解析式中得：，解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）設直線BC的解析式為：y＝kx+b，

則有：，解得：，

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3．

設P（x，﹣x+3），則M（x，﹣x2+2x+3），

∴PM＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．

∴

，

∴

∴當時，△BCM的面積最大．

此時，

∴PN＝ON＝，

∴，

在Rt△BPN中，由勾股定理得：，

，

∴當△BCM的面積最大時，△BPN的周長為；

（3）由（2）知P點坐標為，∴，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的對稱軸為x＝1，

設Q（1，a），∵C（0，3），，

∴，（兩點之間距離公式），

若△CNQ為等腰三角形，可分三種情況：

①當CQ＝QN時，，解得：，

∴點Q的坐標為，

②當CQ＝CN時，，解得：，

∴點Q的坐標為，，

③當QN＝CN時，，解得：，

∴點Q的坐標為，，

綜合以上可得點Q的坐標為或或或或．