Question

【題目】如圖，已知邊長為1的正方形ABCD，在BC邊上有一動點E，連接AE，作EF⊥AE，交CD邊于點F．設BE＝x，CF＝y．

（1）寫出y與x的函數關系式．

（2）CF的長可能等于嗎？請說明理由．

（3）點E在什么位置時，CF的長為？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x（0≤x≤1）；（2）CF的長不可能等于，理由詳見解析；（3）AE＝或時，CF的長為．

【解析】

（1）根據正方形的內角為90°，以及同角的余角相等得出三角形的兩個角相等，從而推知相似三角形：△ABE∽△ECF，得出比例關系，代入數值計算即可；

（2）把y＝代入（1）中的函數解析式，列出方程并解答；

（3）把y＝代入（1）中的函數解析式，列出方程并解答．

解：（1）∵正方形ABCD，

∴∠B＝∠C，∠BAE+∠BEA＝90°，

∵EF⊥AE，

∴∠BEA+∠CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，

∴．

∵BE＝x，CF＝y，正方形ABCD的邊長為1，

則CE＝1﹣x，

∴，

∴y＝﹣x2+x（0≤x≤1）．

（2）當CF的長等于時，＝﹣x2+x，

整理得：x2﹣x+＝0，

∵△＝（﹣1）2﹣4×1×＜0，

∴CF的長不可能等于；

（3）當CF的長為時，＝﹣x2+x，

解得：x＝或x＝，

故AE＝或時，CF的長為．