Question

已知兩個全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，E為AB中點，△DEF可繞頂點E旋轉，線段DE，EF分別交線段CA，CB（或它們所在直線）于M、N。

（1）如圖1，當線段EF經過△ABC的頂點C時，點N與點C重合，線段DE交AC于M，求證：AM=MC；
（2）如圖2，當線段EF與線段BC邊交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN，EC，請探究AM，MN，CN之間的等量關系，并說明理由；
（3）如圖3，當線段EF與BC延長線交于N點，線段DE與線段AC交于M點，連MN，EC，請猜想AM，MN，CN之間的等量關系，不必說明理由。

Answer 1

解：（1）∵AC=BC，E為AB中點
∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE=∠ACB=45°
∴ ∠AEC=90°，
∴∠A=∠ACE=45°，
∴AE=CE
∵DF=EF，∠DFE=90°
∴∠FED=45°
∴∠FED=∠AEC
又∵AE=CE
∴AM=MC。
（2）AM=MN+CN，理由如下：
在AM截取AH，使得AH=CN，連接BH
由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45°
在與中：
∴
∴HE=NE，∠AEH=∠CEN
∴∠HEM=∠AEC-∠AEH-MEC=∠AEC-∠CEN-∠MEC=∠AEC-∠MEF==45°
∴∠HEM=∠NEM=45°
在與中：
∴
∴HM=MN
∴AM=AH+HM=CN+MN
即AM=MN+CN。
（3）猜得MN=AM+CN。