Question

已知兩個全等的直角三角形紙片ABC、DEF，如圖（1）放置，點B、D重合，點F在BC上，AB與EF交于點G、∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．
（1）求證：△EGB是等腰三角形；
（2）若紙片DEF不動，問△ABC繞點F逆時針旋轉最小

 

度時，四邊形ACDE成為以ED為底的梯形（如圖（2））．求此梯形的高．

Answer 1

分析：（1）根據題意，即可發現∠EBG=∠E=30°，從而證明結論；
（2）要使四邊形ACDE成為以ED為底的梯形，則需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．再根據30°的直角三角形的性質即可求解．

解答：（1）證明：∵∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，
∴∠EBF=60°，
∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=60°-30°=∠E．
∴GE=GB，
則△EGB是等腰三角形；

（2）解：要使四邊形ACDE成為以ED為底的梯形，
則需BC⊥DE，即可求得∠BFD=30°．
設BC與DE的交點是H．
在直角三角形DFE中，∠FDH=60°，DF=

1

2

DE=2，
在直角三角形DFH中，FH=DF•cos∠BFD=2×cos30°=2×

3

2

=

3

．
則CH=BC-BH=AB•cos∠ABC-（BF-FH）=2

3

-（2-

3

）=3

3

-2．
即此梯形的高是3

3

-2．
故答案為：3

3

-2．

點評：此題主要是考查了30°的直角三角形的性質．