Question

已知在四邊形ABCD中，∠A=120°，∠ABC=90°，AD=3，BC=，BD=7
（1）求AB的長；（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DE⊥AB，交BA的延長線于點E，根據∠BAD=120°求出∠EAD=60°，然后求出∠EDA=30°，再根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE的長度，再利用勾股定理求出DE的長度，然后在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BE的長度，然后根據AB=BE-AE計算即可；
（2）過點D作DF⊥BC于點F，先判定四邊形BEDF是矩形，根據矩形的對邊相等可得BF的長度，再根據BC的長度求出CF的長度，可得BF=CF，根據“邊角邊”證明△BDF和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=BD，從而得解．
解答：解：（1）如圖，過點D作DE⊥AB，交BA的延長線于點E，
∵∠A=120°，
∴∠EAD=60°，
∴∠EDA=90°-60°=30°，
∵AD=3，
∴AE=AD=，
在Rt△ADE中，DE===，
在Rt△BDE中，BE===，
所以，AB=BE-AE=-=5；

（2）過點D作DF⊥BC于點F，
∵DE⊥AB，∠ABC=90°，
∴四邊形BEDF是矩形，
∴BF=DE=，
∵BC=3，
∴CF=BC-BF=3-=，
∴BF=CF，
在△BDF和△CDF中，，
∴△BDF≌△CDF（SAS），
∴CD=BD，
∵BD=7，
∴CD=7．
點評：本題考查了勾股定理，含30°角的直角三角形，作出輔助線構造出直角三角形是利用勾股定理求解的關鍵，還考查了全等三角形的判定與性質．