Question

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E．
（1）求證：△ABD∽△CED．
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于△ABC是等邊三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一組對頂角，兩組對應角相等，可判定所求的兩個三角形相似；
（2）由于△ABC是等邊三角形，則AC=BC=6，由此可求出AC、CD的長；過B作BM⊥AC于M，根據等邊三角形的性質知AM=MC，由此可求出MD、MB的長，進而可由勾股定理求出BD的長；根據（1）的相似三角形，可得出關于AD、CD，BD、DE的比例關系式，即可求出DE的長，從而由BE=BD+DE求出BE的長．
解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；
∵CE是外角平分線，
∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；（2分）
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；（4分）

（2）解：作BM⊥AC于點M，AC=AB=6，在Rt△ABM中
∴AM=CM=3，BM=AB•sin60°=；
∵AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，MD=1；（6分）
在Rt△BDM中，BD==；（7分）
由（1）△ABD∽△CED得，，，
∴ED=，
∴BE=BD+ED=．（8分）
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定和性質；（2）題中能夠正確的構建出直角三角形求出BD的長是解答此題的關鍵．