Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點E，F分別在線段AD，DC上（點E與點A，D不重合），且∠BEF=120°，設AE=x，DF=y．
（1）求y與x的函數表達式；
（2）當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰梯形的性質知，∠A=∠D，利用等量代換求得∠ABE=∠DEF，有△ABE∽△DEF，可得．從而得到y與x的函數表達式；
（2）通過配方，把得到的函數表達式寫成二次函數的頂點式，求得最值．
解答：解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，
∴∠A=∠D=120°，
∴∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°．
∵∠BEF=120°，∴∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，
∴∠ABE=∠DEF．∴△ABE∽△DEF．
∴．
∵AE=x，DF=y，∴．
∴y與x的函數表達式是y=•x（6-x）=-x²+x；

（2）y=-x²+x=-（x-3）²+．
∴當x=3時，y有最大值，最大值為．
點評：本題利用了等腰梯形的性質，相似三角形的判定和性質，及二次函數的性質求解．