Question

如圖，已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CH⊥AB于點H，過點B作⊙O的切線交直線AC于點D，點E為CH的中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交AB的延長線于G．
（1）求證：AE•FD=AF•EC；
（2）求證：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑r的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BD是⊙O的切線得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，證△AEC∽△AFD，得出比例式即可；
（2）證△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根據直角三角形斜邊上中線性質得出CF=DF=BF即可；
（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，連接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切線，由切割線定理得出（2+FG）²=BG×AG=2BG²，
在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG²=FG²-BF²，推出FG²-4FG-12=0，求出FG即可．
解答：（1）證明：∵BD是⊙O的切線，
∴∠DBA=90°，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，
∴=，
∴AE•FD=AF•EC．

（2）證明：連接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴==，
∵CE=EH（E為CH中點），
∴BF=DF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∵BF=DF，
∴CF=DF=BF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
即CF=BF．

（3）解：∵BF=CF=DF（已證），EF=BF=2，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°，
∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF，
∴∠G=∠FAG，
∴AF=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG，
連接OC，BC，
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠FCB+∠BCO=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切線，
∵GBA是⊙O割線，AB=BG（已證），
FB=FE=2，
∴由切割線定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，
∴FG²-4FG-12=0，
解得：FG=6，FG=-2（舍去），
由勾股定理得：
AB=BG==4，
∴⊙O的半徑是2．
點評：本題考查了切線的性質和判定，相似三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線的性質，圓周角定理，勾股定理等知識點的綜合運用，題目綜合性比較強，有一定的難度．