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如圖,已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點,CH⊥AB于點H,過點B作⊙O 的切線交直線AC于點D,點E為CH的中點,連結并延交BD于點F,直線CF交AB的延長線于G.
⑴求證:AE·FD=AF·EC;
⑵求證:FC=FB;
⑶若FB=FE=2,求⊙O 的半徑r的長.

(1)證明:∵BD是⊙O的切線,∴∠DBA=90°。
∵CH⊥AB,∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。
。∴AE•FD=AF•EC。
(2)證明:∵CH∥BD,∴△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF。∴
∵CE=EH(E為CH中點),∴BF=DF。
∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=∠DCB=90°。∴CF=DF=BF,即CF=BF。
(3)解:∵BF=CF=DF(已證),EF=BF=2,∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。
∵∠AHE=∠CHG=90°,∴∠FAH+∠AEH=90°,∠G+∠GCH=90°。
∵∠AEH=∠CEF,∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。
∵FB⊥AG,∴AB=BG。
連接OC,BC,

∵BF切⊙O于B,∴∠FBC=∠CAB。
∵OC=OA,CF=BF,
∴∠FCB=∠FBC,∠OCA=∠OAC
∴∠FCB=∠CAB。
∵∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°,即OC⊥CG。
∴CG是⊙O切線。
∵GBA是⊙O割線,FB=FE=2,由切割線定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2
【注,沒學切割線定理的可由△AGC∽△CGB求得】
在Rt△BFG中,由勾股定理得:BG2=FG2﹣BF2,∴FG2﹣4FG﹣12=0。
解得:FG=6,FG=﹣2(舍去)。
由勾股定理得:AB=BG=
∴⊙O的半徑r是

解析

練習冊系列答案
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(1)求證:AE•FD=AF•EC;
(2)求證:FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半徑r的長.

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(2)求MP+NP的最小值.

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同步練習冊答案
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