Question

如圖，在⊙O中，弦AB=cm，∠AOB=120°，則⊙O的半徑為    cm．

Answer 1

【答案】分析：過O作OC垂直于AB，根據垂徑定理可得C為AB的中點，由AB的長求出AC的長，又OA=OB，OC垂直于AB，根據三線合一得到OC為角平分線，根據∠AOB的度數求出∠AOC的度數為60°，根據直角三角形的兩銳角互余可得∠A=30°，可設OC為xcm，根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得AB=2xcm，再由AC的長，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，可得出AB的長，即為圓的半徑．
解答：解：過O作OC⊥AB，垂足為C，如圖所示：

∵OC⊥AB，且AB=2cm，
∴AC=BC=AB=cm，
又∵OA=OB，OC⊥AB，
∴OC為∠AOB的平分線，∠AOB=120°
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，
在Rt△AOC中，∠ACO=90°，∠AOC=60°，
∴∠A=30°，
設OC=xcm，則有OA=2xcm，
根據勾股定理得：AC²+OC²=OA²，即3+x²=4x²，
解得：x=1，或x=-1（舍去），
則半徑OA=2x=2cm．
故答案為：2．
點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質，以及含30°直角三角形的性質，利用了方程的思想，在圓中遇到弦，常常過圓心作弦的垂線，根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．