Question

如圖，公路MN與公路PQ在點P處交匯，且∠QPN=30°，點A處有一所中學，AP=160m．假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否受到噪音影響？說明理由；如果受影響，且知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間是多少秒？

Answer 1

解：學校受到噪音影．理由如下：
作AH⊥MN于H，如圖，
∵PA=160m，∠，QPN=30°，
∴AH=PA=80m，
而80m＜100m，
∴拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校受到噪音影響，
以點A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于B、C，如圖，
∵AH⊥BC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，AB=100m，AH=80m，
BH==60m，
∴BC=2BH=120m，
∵拖拉機的速度=18km/h=5m/s，
∴拖拉機在線段BC上行駛所需要的時間==24（秒），
∴學校受影響的時間為24秒．
分析：作AH⊥MN于H，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到AH=PA=80m，由于這個距離小于100m，所以可判斷拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校受到噪音影響；然后以點A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于B、C，根據垂徑定理得到BH=CH，再根據勾股定理計算出BH=60m，則BC=2BH=120m，然后根據速度公式計算出拖拉機在線段BC上行駛所需要的時間．
點評：本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；當直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了垂徑定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三邊的關系．