Question

【題目】如圖 1，一張△ABC 紙片，點 M、N 分別是 AC、BC 上兩點.

（1）若沿直線 MN 折疊，使 C 點落在 BN 上，則∠AMC′與∠ACB 的數量關系是 ；

（2）若折成圖 2 的形狀.猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的數量關系，并說明理由.

猜想： .

理由：

（3）若折成圖3 的形狀，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的數量關系是 .（寫出結論即可）.

（4）將上述問題推廣，如圖4，將四邊形 ABCD 紙片沿 MN 折疊，使點 C、D 落在四邊形 ABNM 的內部時，∠AMD′＋∠BNC′與∠C、∠D 之間的數量關系 是 （寫出結論即可）.

Answer 1

【答案】（1）∠AMC′=2∠ACB；（2）∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，理由見詳解；（3）∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；（4）∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°.

【解析】

（1）根據折疊性質和三角形的外角定理得出結論；

（2）先根據折疊得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，由兩個平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′等于360°與四個折疊角的差，化簡為結果；

（3）利用兩次外角定理得∠AMC′=∠C′+∠C+∠BNC′，然后根據等量代換，得出結論；

（4）與（2）類似，先由折疊得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，再由兩平角的和為360°得：∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，根據四邊形的內角和得：∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，代入前式可得結論．

解：（1）由折疊得：∠ACB=∠MC′C，

∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，

∴∠AMC′=2∠ACB；

故答案為：∠AMC′=2∠ACB；

（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，

理由是：

由折疊得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，

∵∠CMA+∠CNB=360°，

∴∠AMC′+∠′BNC′=360°-∠CMN-∠C′MN-∠CNM-∠C′NM=360°-2∠CMN-2∠CNM，

∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°-∠CMN-∠CNM）=2∠ACB；

（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，

∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，

∵∠C=∠C′，

∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，

∴∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；

故答案為：∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；

（4）由折疊得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，

∵∠DMA+∠CNB=360°，

∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，

∵∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，

∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（360°-∠C-∠D）=2（∠C+∠D）-360°，

故答案為：∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°．