Question

已知：如圖，正方形ABCD中，點E是BA延長線上一點，連接DE，點F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G．DH平分∠ADE交CF于點H，連接BH.

（1）若DG=2，求DH的長；

（2）求證：BH+DH=CH.

 

Answer 1

（1）；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）通過證明△DGH是等腰直角三角形，得到DH=DG=；

（2）如圖，過點C作CM⊥CH，交HD延長線于點M．構建等腰直角△HCM和全等三角形△MCD≌△HCB，所以根據等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質推知MH=CH，DM=BH．則BH+DH=MH=CH．

試題解析：（1）∵如圖，DF=DC，DG⊥CF，∴∠FDG=∠FDC，

∵DH平分∠ADE，∴∠FDH=∠ADF，∴∠HDG=∠FDG﹣∠FDH=（∠FDC﹣∠ADF）=∠ADC=45°，∴△DGH是等腰直角三角形，

∵DG=2，∴DH=；

（2）如圖，過點C作CM⊥CH，交HD延長線于點M．

∵∠DCB=90°，∴∠1=∠2（同角的余角相等）．

又∵△DGH是等腰直角三角形，∴△MCH是等腰直角三角形，∴MC=CH．∴MH=CH．

在△MCD與△HCB中，∵CD=CB，∠1=∠2，MC=HC，∴△MCD≌△HCB）SAS），∴DM=BH．

∴BH+DH=DM+DH=MH=CH．即BH+DH=CH．

考點：1．正方形的性質；2．全等三角形的判定與性質．