Question

如圖，⊙O是以∠ACB為直角的△ABC的內切圓，切點分別是D、E、F．
（1）填空：當

 

時，EF∥AB（填上符合題目要求的一個條件即可）；
（2）當EF∥AB時，設⊙O的半徑r=1，DE、AC的延長線相交于點G，求GF的長．

Answer 1

分析：（1）根據切線長定理得CE=CF，則∠CFE=∠CEF．若要使EF∥AB，則∠A=∠CFE，∠B=∠CEF．即可得到一個條件，即三角形ABC是等腰三角形即可；
（2）根據直角三角形的內切圓的半徑和（1）中探索的條件可以求得CF，EF，AD，AC的長，再根據平行線分線段成比例定理即可求解．

解答：解：（1）∵CE=CF，
∴∠CFE=∠CEF，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠CFE，∠B=∠CEF．
∴∠A=∠B，
即AC=BC時，EF∥AB；

（2）由（1）可知，
CE=CF=1，EF=

2

．
∴AC=BC=2+

2

，AB=2

2

+2，
則AD=

2

+1．
∵EF∥AB，
∴△GEF∽△GDA，
∴

GF

AG

=

EF

AD

，
即

GF

2 +1+GF

=

2

2 +1

，
GF=2+

2

．

點評：此題綜合運用了切線長定理、等腰直角三角形的性質以及平行線分線段成比例定理．注意：直角三角形其內切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半．