Question

數(shù)學(xué)課上，老師出示圖和下面條件：

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，點(diǎn)B在x軸上且在點(diǎn)A的右側(cè)，AB＝OA．過點(diǎn)A和B作x軸的垂線，分別交二次函數(shù)y＝x²的圖像于點(diǎn)C和D．直線OC交BD于點(diǎn)M，直線CD交y軸于點(diǎn)H．記點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分別為x_C、x_D，點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為y_H．

同學(xué)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論：①S_△CMD∶S_梯形ABMC＝2∶3；②數(shù)值相等關(guān)系：x_C·x_D＝－y_H．

(1)請(qǐng)你驗(yàn)證結(jié)論①和結(jié)論②成立；

(2)請(qǐng)你研究：如果將上述條件“A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)”改為“A點(diǎn)坐標(biāo)為(t，0)(t＞0)”，其他條件不變，結(jié)論①是否仍成立？(請(qǐng)說明理由)

(3)進(jìn)一步研究：如果將上述條件“A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)”改為“A點(diǎn)坐標(biāo)為(t，0)(t＞0)”，又將條件“y＝x²”改為“y＝ax²(a＞0)”，其他條件不變，那么x_C、x_D和y_H有怎樣的數(shù)值關(guān)系？(寫出結(jié)果并說明理由)

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，1)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4)，由點(diǎn)C坐標(biāo)為(1，1)易得直線OC的函數(shù)解析式為y＝x， 　　∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，2)， 　　∴S△CMD＝1，S梯形ABMC＝， 　　∴S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3，即結(jié)論①成立； 　　設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b， 　　則得 　　∴直線CD的函數(shù)解析式為y＝3x－2． 　　由上述可得，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0，－2)，yH＝－2． 　　∵xC·xD＝2，∴xC·xD＝－yH，即結(jié)論②成立． 　　(2)結(jié)論①仍成立． 　　∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t，0)(t＞0)，則點(diǎn)B坐標(biāo)為(2t，0)，從而點(diǎn)C坐標(biāo)為(t，t2)，點(diǎn)D坐標(biāo)為(2t，4t2)，設(shè)直線OC的函數(shù)解析式為y＝kx，則t2＝kt，得k＝t， 　　∴直線OC的函數(shù)解析式為y＝tx． 　　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2t，y)， 　　∵點(diǎn)M的直線OC上， 　　∴當(dāng)x＝2t時(shí)，y＝2t2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2t，2t2)，∴S△CMD∶S梯形ABMC＝(·2t2·t)∶〔(t2＋2t2)〕＝2∶3，∴結(jié)論①仍成立． 　　(3)xC·xD＝－yH，由題意，當(dāng)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2(a＞0)，且點(diǎn)A坐標(biāo)為(t，0)(t＞0)時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(t，at2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2t，4at2)． 　　設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為y＝kx＋b， 　　則得 　　∴直線CD的函數(shù)解析式為y＝3atx－2at2，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為(0，－2at2)，yH＝－2at2． 　　∵xC·xD＝2t2， 　　∴xC·xD＝－yH．