Question

8． 已知y關于x的二次函數y=x2+2mx-3m2（m≠0）的圖象的頂點為A，與x軸交于點B，C，與y軸交于點D．
（1）當m=1時，點A的坐標為（-1，-4），點D的坐標為（0，-3）；（請直接寫出答案）
（2）如圖，在（1）的條件下，若點N是y軸上一點，當△ABN是直角三角形時，請求出點N的坐標；
（3）△ABC是否為等邊三角形？若能，請直接寫出m的值；若不能，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）將m=1代入可得到拋物線的解析式，然后利用配方法求得點A的坐標，將x=0代入可求得點D的縱坐標；
（2）分為∠ABN=90°，∠BAN=90°，∠ANB=90°三種情況求解即可；
（3）先利用配方法求得點A的坐標，然后令y=0可求得點B、C的坐標，然后利用等邊三角形的性質求解即可．

解答 解：（1）當m=1，y=x²+2x-3，
當x=0時，y=-3．
∴D（0，-3）．
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴A（-1，-4）．
故答案為：（-1，-4）；（0，-3）．
（2）如圖所示：

令x²+2x-3=0，解得：x=-3或x=1，
∴B（-3，0）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，將點A和點B的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=-6．
∴直線AB的解析式為y=-2x-6．
①當∠ABN=90°．設直線BN的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+c，將點B的坐標代入得：-3×$\frac{1}{2}$+c=0，解得：c=$\frac{3}{2}$．
∴點N的坐標為（0，$\frac{3}{2}$）．
②當∠BAN″=90°時，設直線BN″的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+d，將點A的坐標代入得：-1×$\frac{1}{2}$+d=-4，解得：d=-$\frac{7}{2}$．
∴點N″的坐標為（0，-$\frac{7}{2}$）．
③∠BN′A=90°時，過點A作AE⊥y軸，則OB=3，OE=4，AE=1．
∵∠BN′O+∠N′BO=90°，∠AN′E+∠BN′O=90°，
∴∠N′BO=∠AN′E．
又∵∠BON′=∠AEN′=90°，
∴△BON′∽△N′EA．
∴$\frac{ON′}{AE}=\frac{OB}{N′E}$．
設ON′=x，則N′E=4-x．則$\frac{x}{1}=\frac{3}{4-x}$，解得：x=1或x=3．
所以ON′=1或ON′=3．
∴點N′為（0，-1）或（0，-3）．
綜上所述，點N的坐標為（0，$\frac{3}{2}$）或（0，-1）或（0，-3）或（0，-$\frac{7}{2}$）．
（3）y=x²+2mx-3m²=（x+m）²-4m²=（x+3m）（x-m）
∴拋物線與兩坐標軸的交點坐標為（-3m，0）和（m，0），點A的坐標為（-m，-4m²）．
∵△ABC為等邊三角形，
∴$\frac{4{m}^{2}}{|2m|}$=$\sqrt{3}$．
當m＞0時，2m=$\sqrt{3}$，解得m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當m＜0時，-2m=$\sqrt{3}$，解得m=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
綜上所述，當m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，△ABC為等邊三角形．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數的解析式，相似三角形的性質和判定、等邊三角形的性質，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．