Question

如圖，AD、BE為△ABC的高，AD、BE相交于點F，已知∠ACB=60°，∠ABC=45°．猜測DF與AC間有何數量關系？請說明理由．

Answer 1

分析：根據AD⊥BC，∠ABC=45°，易求∠BAD=45°，從而可得AD=BD，再根據∠ADC=90°，∠ACB=60°，易求∠DAC=30°，而∠AEB=90°，易求∠AFE=60°，那么∠BFD=60°，也就是∠DBF=30°，從而可求∠ACD=∠BFD，利用AAS可證△BDF≌△ACD，從而有BF=AC，在Rt△BDF中，易知∠DBF=30°，根據30°的角所對的便等于斜邊的一半，可得DF=

1

2

BF，
進而有DF=

1

2

AC．

解答：解：DF=

1

2

AC．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=BD，
∵∠ADC=90°，∠ACB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°，
∴∠BFD=∠AFE=60°，
∴∠ACD=∠BFD，
在△BFD和△ACD中，∠ACD=∠BFD，∠ADC=∠BDF=90°，BD=AD，
∴△BDF≌△ACD，
∴BF=AC，
在Rt△BDF中，∠BFD=60°，那么∠DBF=30°，
∴DF=

1

2

BF，
∴DF=

1

2

AC．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、含30°角的直角三角形的性質，解題的關鍵是求出∠BFD=60°，進而證明△BDF≌△ACD．