Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑作⊙O，⊙O與AC的公共點為E，連接DE并延長交BC的延長線于點F，BD=BF．

（1）試判斷AC與⊙O的位置關系并說明理由；

（2）若AB=12，BC=6，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】(1)AC與⊙O相切；(2)16.

【解析】

(1)求出OE∥BF推出∠AEO=90，根據切線的判定推出即可；

(2)證△AOE∽△ABC，得出關于r的方程，求出方程的解即可.

解：（1）AC與⊙O相切．

連接OE，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED．

∵BD=BF，

∴∠ODE=∠F．

∴∠OED=∠F．

∴OE∥BF．

∴∠AEO=∠ACB=90°．

∴OE⊥AC．

∵點E為⊙O上一點，

∴AC與⊙O相切；

（2）由（1）知∠AEO=∠ACB，

又∵∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴=，

設⊙O的半徑為r，則=，解得r=4，

∴⊙O的面積為π×42=16π.

故答案為：(1)AC與⊙O相切；(2)16.