Question

【題目】已知關于x的方程恰有一個實根，則滿足條件的實數a的值的個數為（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

先將原方程變形，轉化為整式方程后得2x2-3x+（4-a）=0①．由于原方程只有一個實數根，因此，方程①的根有兩種情況：（1）方程①有兩個相等的實數根，此二等根使x（x-2）≠0；（2）方程①有兩個不等的實數根，而其中一根使x（x-2）=0，另外一根使x（x-2）≠0．針對每一種情況，分別求出a的值及對應的原方程的根．

去分母，將原方程兩邊同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（4﹣a）=0．①

方程①的根的情況有兩種：

（1）方程①有兩個相等的實數根，即△=9﹣4×2（4﹣a）=0．

解得a=．

當a=時，解方程2x2﹣3x+（﹣+4）=0，得x1=x2=．

（2）方程①有兩個不等的實數根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個根為0或2．

（i）當x=0時，代入①式得4﹣a=0，即a=4．

當a=4時，解方程2x2﹣3x=0，x（2x﹣3）=0，x1=0或x2=1.5．

而x1=0是增根，即這時方程①的另一個根是x=1.5．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．

（ii）當x=2時，代入①式，得2×4﹣2×3+（4﹣a）=0，即a=6．

當a=6時，解方程2x2﹣3x﹣2=0，x1=2，x2=﹣ ．

x1是增根，故x=﹣為方程的唯一實根；

因此，若原分式方程只有一個實數根時，所求的a的值分別是，4，6共3個．

故選：C．