Question

如圖在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=4，AD、AE分別是△ABC的中線和角平分線，則△ADE的面積為

 

．

Answer 1

分析：過E作EF∥AB交AC于F，過A作AG⊥BC于G，先根據勾股定理得BC=

41

，再根據中線的定義求得BD；然后利用等積法可求出斜邊上的高AG，由EF∥AB，根據平行線分線段成比例定理和平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似得到BE：EC=EF：FC，EF：FC=BA：AC=5：4，易證得FE=AF，則BE：EC=5：4，可求出BE，從而得到DE，最后根據三角形的面積公式計算即可．

解答：解：過E作EF∥AB交AC于F，過A作AG⊥BC于G，如圖，
∵∠BAC=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=

AB2+AC2

=

52+42

=

41

，
又∵AD是△ABC的中線，
∴BD=

1

2

BC=

41

2

，
而S_△ABC=

1

2

BC•AG=

1

2

AB•AC，
∴AG=

5×4

41

=

20 41

41

，
∵EF∥AB，
∴BE：EC=AF：FC，
而AE是角平分線，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∴AF=EF，
∴BE：EC=EF：FC，
又∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴EF：FC=BA：AC=5：4，
∴BE：EC=5：4，
∴BE=

5

9

AB=

5 41

9

，
∴DE=BE-BD=

41

18

，
∴S_△ADE=

1

2

DE•AG=

1

2

•

41

18

•

20 41

41

=

5

9

．
故答案為

5

9

．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊所截的三角形與原三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等．也考查了平行線分線段成比例定理、勾股定理以及三角形的面積公式．