Question

閱讀并解答下列問題：

問題一．如圖1，在?ABCD中，AD=20，AB=30，∠A=60°，點P是線段AD上的動點，連PB，當AP=______時，PB最小值為______

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，過點B作BP⊥AD于P，根據直角三角形的性質和勾股定理就可以求出結論；
（2）如圖2，連接BD、ED交AC于點P，作DF⊥AB于F．由菱形的性質可以得出AC的值，再由△APE∽△CPD就根據相似三角形的性質就可以得出結論；
（3）作B關于AC的對稱點B′，連AB′，則N點關于AC的對稱點N′在AB′上，這時，B到M到N的最小值等于B→M→N′的最小值，等于B到AB′的距離BH′，連B與AB′和DC的交點P，再由三角形的面積公式可求出S_△ABP的值，根據對稱的性質可知∠PAC=∠BAC=∠PCA，利用勾股定理可求出PA的值，再由S_△ABP= PA•BH′即可求解．
解答：解：（1）如圖1，過點B作BP⊥AD于P，
∴∠APPB=90°．
∵∠A=60°，
∴∠ABP=30°，
∴AP=AB．
∵AB=30，
∴AP=15．
在Rt△ABP中，由勾股定理，得
BP==15．

（2）如圖2，連結BD，連結DE交AC于點P，作DF⊥AB于F．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD．AC⊥BD，DO=BO=DB，AO=CO=AC，∠OAB=∠DAB．
∵∠DAB=60°，
∴△ABD和△CDB是等邊三角形，
∴AF=AB=10，．
在Rt△ADF中，由勾股定理，得
DF=10．
∵AE=AB，且AB=20，
∴AE=5．
∴EF=5．
在Rt△EFD中，由勾股定理，得
DE==5，
∴BP+PE的最小值為5．
在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AO=10．
∴AC=20
∴△AEP∽△CDP，
∴．
∴，
∴AP=4．
答：當AP長為4時，PE+PB的值最小為5；

（3）如圖3，作B關于AC的對稱點B′，作B′Q⊥QB于Q，交AC于P．
連結AB′，則Q點關于AC的對稱點H′在AB′上，
∴∠AHB=∠AHB′=90°，BH=B′H，
∴AB′=AB，
∴∠AB′H=∠ABH．
這時，B到P到Q的最小值等于B→P→H′的最小值，
等于B到AB′的距離BH′，
連J結AB′和DC的交點E，
則S_△ABE=×20×10=100，
由對稱知識，∠EAC=∠BAC=∠ECA，
所以EA=EC，令EA=x，則EC=x，ED=20-x，
在Rt△ADE中，EA²=ED²+AD²，
所以x²=（20-x）²+10²，
所以x=12.5，
因為S_△ABE=EA•BH′，
所以BH′===16．
在△BB′H′和△B′BQ中，
，
∴△BB′H′≌△B′BQ（SAS），
∴BH′=B′Q=10．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=10．
∵S_△ABC==，
∴，
∴BH=4，
∴BB′=8．
在Rt△BB′Q中，由勾股定理，得
QB=8，
∴AQ=12．
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，且∠ABC=90°，
∴PQ∥BC．
∴△AQP∽△ABC，
∴，
∴，
∴AP=6．
答：AP長為6時，PQ+PB的值最小為16．
故答案為：15，15．
點評：本題考查的是最短路線問題，考查軸對稱的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質的運用，等邊三角形的性質的運用，解答第三問時作出B點關于直線AC對稱的點B′是解答此題的關鍵．