Question

【題目】在⊙O中，AB為直徑，C為⊙O上一點．

（Ⅰ）如圖①，過點C作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點P，若∠CAB＝32°，求∠P的大�。�

（Ⅱ）如圖②，D為優弧ADC上一點，且DO的延長線經過AC的中點E，連接DC與AB相交于點P，若∠CAB＝16°，求∠DPA的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∠P＝26°；（Ⅱ）∠DPA＝69°

【解析】

(1)首先連接OC，由切線的性質可得OC⊥PC，由OA=OC，∠CAB=32°，即可利用三角形外角性質求得∠POC的度數，進而可得到答案；
(2)根據垂徑定理的推論可得到OC⊥PC，進而可得到∠AOD=106°，根據圓周角定理得到∠C的度數，利用三角形外角性質得到答案．

解：（Ⅰ）連接OC，如圖①，

∵PC為切線，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠CAB＝32°，

∴∠POC＝∠OCA+∠CAB＝64°，

∴∠P＝90°﹣∠POC＝90°﹣64°＝26°；

（Ⅱ）如圖②，

∵點E為AC的中點，

∴OD⊥AC，

∴∠OEA＝90°，

∴∠AOD＝∠CAB+∠OEA＝16°+90°＝106°，

∴∠C＝∠AOD＝53°，

∴∠DPA＝∠BAC+∠C＝16°+53°＝69°．