Question

已知：AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，∠B的平分線BE與AD相交于點F，G是AC邊上滿足CG=AF的一點（如圖），求證：FG∥BC．

Answer 1

分析：先證△A′BF≌△ABF，再證明四邊形FA′CG為平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得解．

解答：證明：在BC邊上取一點A′，使BA′=BA，連接A′F…（5分）
在△A′BF與△ABF中，∵BA′=BA，BF=BF，∠A′BF=∠ABF，
∴

BA′=BA ∠A′BF=∠ABF BF=BF

，
∴△A′BF≌△ABF（SAS）
∴A′F=AF=CG ①…（10分）
∠BA′F=∠BAF=90°-∠CAD=∠C
∴∠BA′F=∠C，
因此FA′∥GC ②…（15分）
于是，由①和②知，四邊形FA′CG為平行四邊形，
故FG∥A′C，
即FG∥BC…（20分）

另證：過F作FA′∥AC交BC邊于A′點，則∠BA′F=∠C…（5分）
∵∠BAC=90°，且AD⊥BC，∴∠BAF=90°-∠CAD=∠C…（10分）
∴∠BA′F=∠BAF又在△A′BF與△ABF中，
∵∠A′BF=∠ABF，BF=BF，
∴△A′BF≌△ABF∴A′F=AF=CG…（15分）
而FA′∥AC，即FA′∥GC，
∴四邊形FA′CG為平行四邊形
故FG∥A′C，
即FG∥BC…（20分）

點評：本題考查全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，熟記這些性質定理求解．