Question

12．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）連接CE，若AE=6，CE=2$\sqrt{5}$，求⊙O的半徑長及CD的長．

Answer 1

分析 （1）直接利用切線的性質結合平行線的性質得出∠CAD=∠ACO，進而利用等腰三角形的性質進而得出答案；
（2）利用勾股定理進而得出答案．

解答 （1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAD=∠CAO，即AC平分∠DAB；

（2）解：連接BE、OC交于G，連接OE，
OG=$\frac{1}{2}$AE=3，OG⊥BE，
OE²-OG²=EG²=CE²-CG²，
設半徑EO為：x，
x²-3²=（2$\sqrt{5}$）²-（x-3）²，
解得：x₁=5，x₂=-2（舍去），
則DC=EG=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
故半徑長為5，CD的長為4．

點評 此題主要考查了切線的性質以及勾股定理，正確應用切線的性質定理是解題關鍵．