Question

【題目】發現

如圖1，在有一個“凹角∠A1A2A3”n邊形A1A2A3A4……An中（n為大于3的整數），∠A1A2A3＝∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠An﹣（n﹣4）×180°．

驗證

（1）如圖2，在有一個“凹角∠ABC”的四邊形ABCD中，證明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D．

（2）證明3，在有一個“凹角∠ABC”的六邊形ABCDEF中，證明；∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°．

延伸

（3）如圖4，在有兩個連續“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四邊形A1A2A3A4……An中（n為大于4的整數），∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣（n﹣　 ）×180°．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6．

【解析】

（1）如圖2，延長AB交CD于E，可知∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，即可解答

（2）如圖3，延長AB交CD于G，可知∠ABC＝∠BGC+∠C，即可解答

（3）如圖4，延長A2A3交A5A4于C，延長A3A2交A1An于B，可知∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，再找出規律即可解答

（1）如圖2，延長AB交CD于E，

則∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，

∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D；

（2）如圖3，延長AB交CD于G，則∠ABC＝∠BGC+∠C，

∵∠BGC＝180°﹣∠BGC，∠BGD＝3×180°﹣（∠A+∠D+∠E+∠F），

∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°；

（3）如圖4，延長A2A3交A5A4于C，延長A3A2交A1An于B，

則∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，

∵∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A6……+∠An），

而∠2+∠4＝360°﹣（∠1+∠3）＝360°﹣[（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A6……+∠An）]，

∴∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣（n﹣6）×180°．

故答案為：6．