Question

如圖所示，邊長為1的正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，將正方形OABC繞點O順時針旋轉30°，使點A落在拋物線y=ax²（a＜0）的圖象上．
（1）求拋物線y=ax²的函數關系式；
（2）正方形OABC繼續按順時針旋轉多少度時，點A再次落在拋物線y=ax²的圖象上并求這個點的坐標．
（參考數據：sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

，tan30°=

3

3

．）

Answer 1

分析：（1）由于OA順時針旋轉30°后A點落在拋物線上，設此時的A點為A₁，過A₁作A₁⊥x軸于M，那么可根據正方形的邊長和∠A₁OA的度數求出A₁M和OM的長，即可得出A₁的坐標，然后根據A₁的坐標即可求出拋物線的解析式．
（2）根據拋物線的對稱性即可得出要經過120°點A才會再落到拋物線的圖象上．且此點與A1關于y軸對稱，即坐標為（-

3

2

，-

1

2

）．

解答：解：（1）設旋轉后點A落在拋物線上點A₁處，OA₁=OA=1，
過A₁作A₁M⊥x軸于M，根據旋轉可知：∠A₁OM=30°，
則OM=OA₁cos30°=

3

2

，A₁M=OA₁sin30°=

1

2

，
所以A₁（

3

2

，-

1

2

）．
由A₁在y=ax²上，代入拋物線解析式得：-

1

2

=a（

3

2

）²
解得a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

x²

（2）由拋物線關于y軸對稱，再次旋轉后點A落在拋物線點A₂處，點A₂與點A₁關于y軸對稱，
因此再次旋轉120°，點A₂的坐標為（-

3

2

，-

1

2

）．

點評：本題考查了圖形的旋轉變換、二次函數的確定、二次函數的性質等知識點．