Question

19、如圖，已知AB是一條河，河的一邊有兩個村莊M和N，現要在河AB上修一個抽水站，請你在下圖中作出抽水站的位置P，使點P到點M和點N的距離之和最短．
（要求：用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作，保留作圖痕跡，不寫作法和結論） 
已知：
求作：

Answer 1

分析：作點N關于直線AB的對稱點N′，連接MN′交AB于點P，連接NP，由對稱的性質可知N′P=NP，由兩點之間線段最短可知點P即為所求點．

解答：已知：直線AB及其同側兩點M、N．
求作：直線AB上的點P，使點P到點M和點N的距離之和最短．
解：作點N關于直線AB的對稱點N′，連接MN′交AB于點P，連接NP．
∵N、N′關于直線AB對稱，
∴N′P=NP，
∴MP+NP=MP+N′P=MN′．
由兩點之間線段最短可知，線段MN′的長即為MP+NP的最小值，故P點即為所求點．

點評：此題主要考查的是尺規(guī)作圖和最短線路問題，熟知對稱的性質及兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵，本題難度適中．