Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求此拋物線的函數表達式；

（2）以點B為直角頂點作直角三角形BCE，斜邊CE與拋物線交于點P，且CP＝EP，求點P的坐標；

（3）△BOC繞著它的頂點B順時針在第一象限內旋轉，旋轉的角度為α，旋轉后的圖形為△BO1C1．當旋轉后的△BO1C1有一邊在直線BD上時，求△BO1C1不在BD上的頂點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P為（ ）或（）；（2）C1的坐標為（3+）．

【解析】

（1）將A、B兩點的坐標代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，即可求b、c的值；

（2）過點P作PH⊥x軸于H，PG⊥y軸于G，連接PB，由條件可證得PC＝PE＝PB，證明△PCG≌△PBH，得出PG＝PH，則P點坐標易求；

（3）有兩種可能：當BC1在直線BD上時，過點O1作O1M⊥OB，證明△MBO1∽△CBD，得出比例線段可求出BM、O1M的長，則點O1的坐標可求出；當BO1與BD重合時，過點B作x軸的垂線BN，過點C1作C1N⊥BN于點N，易證△NBC1∽△CBD，可求出BN、NC1的長，則C1的坐標可求出．

（1）把A（﹣1，0），B（3，0）兩點代入y＝﹣x2+bx+c，

得：，

解得b＝2，c＝3，

∴拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖1，（2）過點P作PH⊥x軸于H，PG⊥y軸于G，連接PB，

設P（m，﹣m2+2m+3），易知C（0，3），

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∵PC＝PB，

∴∠PBC＝∠PCB，

∴∠PCG＝∠PBC，

又∵PC＝PB，

∴Rt△PCG≌Rt△PBH（AAS），

∴PG＝PH，

∴m＝﹣m2+2m+3，

解得：m＝．

∴P為（ ）或（）；

（3）如圖2，當BC1在直線BD上時，過點O1作O1M⊥OB，由y＝﹣x2+2x+3可得D（1，4）．

∴DC＝，BC＝3，DB＝2，

∴DC2+BC2＝BD2，

∴△BCD為直角三角形，且∠BCD＝90°，

∵∠DBC+∠CBO1＝∠CBO1+∠ABO1＝45°，

∴∠ABO1＝∠DBC，

∴△MBO1∽△CBD，

∴，

即，

∴，，

∴點O1的坐標為（），

如圖3，當BO1與BD重合時，過點B作x軸的垂線BN，過點C1作C1N⊥BN于點N，

易證△NBC1∽△CBD，

∴，

∴，

∴，則C1的坐標為（）．