Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，若∠BAC=∠CAM，過點C作直線垂直于射線AM，垂足為點D．

（1）試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若直線與AB的延長線相交于點E，⊙O的半徑為3，并且∠CAB=30⁰．求CE的長．

Answer 1

（1）直線CD與⊙O相切（2）

解：（1）直線CD與⊙O相切。理由如下：
連接OC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。
∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM。
∴OC∥AM。
∵CD⊥AM ，∴OC⊥CD。
∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD與⊙O相切。
（2）∵∠CAB=30⁰，∴∠COE=2∠CAB=60⁰。
∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan60⁰=。
（1）要證明過圓上已知點的直線是圓的切線時，只需連接圓心和這點，再證過已知點的半徑垂直于這條直線即可。因此，連接CO，根據∠OCA=∠CAM，證明DC∥AD，再根據CD⊥AM，得OC⊥CD，從而證明CD是⊙O的切線。
（2）由題意得∠COE=2∠CAB=60⁰，則在Rt△COE中應用正切函數定義即可求解。.