Question

我們已經知道了一些特殊的勾股數，如三個連續整數中的勾股數：3、4、5；三個連續的偶數中的勾股數6、8、10；由此發現勾股數的正整數倍仍然是勾股數．
（1）如果a、b、c是一組勾股數，即滿足a²+b²=c²，求證：ka、kb、kc（k為正整數）也是一組勾股數．
（2）另外利用一些構成勾股數的公式也可以寫出許多勾股數，如
①公式a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m、n為整數，m＞n，m＞1）
②世界上第一次給出的勾股數的公式，被收集在《九章算術》中，b=mn，（m、n為正整數，m＞n）
③公元前427-公元前347，由柏拉圖提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n為整數）
④畢達哥拉斯學派提出的公式a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1（n為正整數），請你在上述的四個公式中選擇一種加以證明，滿足公式的a、b、c是一組勾股數
（3）請根據你在（2）中所選的公式寫出一組勾股數．

Answer 1

解：（1）（ka）²+（kb）²=k²a²+k²b²=k²（a²+b²）=k²c²=（kc）²，
ka、kb、kc是勾股數；

（2）柏拉圖提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n為整數），
a²=（n²-1）²=n⁴-2n²+1，
b²=4n²，
a²+b²=n⁴-2n²+1+4n²=n⁴+2n²+1=（n²+1）²=c²，
∴a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n為整數），是勾股數；

（3）使n=2，
則：a=3，b=4，c=5．
分析：（1）只要求=證出ka、kb的平方和等于kc的平方即可；
（2）選擇柏拉圖提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n為整數）為例，分別求出n²-1與2n的平方和，再分解因式發現正好等于（n²+1）的平方；
（3）使n=2，分別代入即可計算出一組勾股數．
點評：此題主要考查了勾股定理與勾股數，關鍵是根據所給的數據證明a²+b²=c²．