Question

如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是劣弧上一點（不與A、B重合），將△PBC繞C點順時針旋轉60°，得△DAC，AB交PC于E．則下列結論正確的序號是________．
①PA+PB=PC；
②BC²=PC•CE；
③四邊形ABCD有可能成為平行四邊形；
④△PCD的面積有最大值．

Answer 1

①②④
分析：分別根據等邊三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質分別判斷的即可．
解答：①∵將△PBC繞C點順時針旋轉60°，
∴∠PCD=60°，PC=CD，AD=PB，∠CAD=∠CBP，
∵∠PBC+∠PAC=180°，∠DAC+∠PAC=180°，
∴P，A，D在一條直線上，
∴△PCD是等邊三角形，
∴PC=PD=DC，
∴PB+PA=PA+AD=PD=PC，故選項①正確；
②∵∠BPC=∠BAC=∠CBA=60°，
∠PCB=∠BCE，
∴△BCE∽△PCB，
∴=
∴BC²=PC•CE，故選項②正確；
③當四邊形ABCD成為平行四邊形時，
AD=BC，
∵PB=AD，
∴PB=BC，
∵BPC=∠BAC=60°，
∴△PBC是等邊三角形，此時P與A點重合，
∵P是劣弧上一點（不與A、B重合），
∴四邊形ABCD不可能成為平行四邊形，故選項③錯誤；
④∵P是劣弧上一點（不與A、B重合），將△PBC繞C點順時針旋轉60°，
∴根據①得出旋轉后的三角形是等邊三角形，當邊長越大，則三角形面積越大，
故當P為劣弧的中點時，PC最大，此時三角形面積最大，
∴△PCD的面積有最大值，故選項④正確．
故答案為：①②④．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質和平行四邊形的性質以及等邊三角形的判定與性質等知識，根據旋轉的性質得出對應邊與對應角之間的關系是解題關鍵．