Question

16．正方形ABCD中，E、F分別在AD、DC上，EF的延長線交BC的延長線于G點，且∠AEB=∠BEG；
（1）如圖1，求證：△BEG為等腰三角形；
（2）如圖2，若E、F兩點分別在AD、DC上運動，其它條件不變，試問：線段AE、EF、FC三者之間是否存在確定的數量關系？若存在，請寫出它們之間的數量關系，并證明；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，若AB=4，AE=1，利用（2）的結論，求四邊形BEFC的面積．

Answer 1

分析 （1）證明：∵根據正方形的性質得到AD∥BG，根據平行線的性質得到∠AEB=∠EBG等量代換得到∠BEG=∠EBG，于是得到結論；
（2）作BQ⊥GE于Q，根據全等三角形的性質得到AB=QB，AE=QE，則BQ=BC，FQ=FC，如何根據線段的和差即可得到結論；
（3）作GH⊥BE于點H，則△BGE是等腰三角形，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BG，∴∠AEB=∠EBG，∵∠AEB=∠BEG，∴∠BEG=∠EBG，∴BG=EG，∴△BEG為等腰三角形；

（2）解：AE+GF=EF．理由如下：
作BQ⊥GE于Q，如圖1，
在△BEA和△BEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQE}\\{∠AEB=∠QEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△BEQ（AAS），
∴AB=QB，AE=QE，
而AB=BC，
∴BQ=BC，
在△BFQ和△BFC中
$\left\{\begin{array}{l}{BQ=BC}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFQ≌△BFC（HL），
∴FQ=FC，
∴EF=EQ+FQ=AE+CF；

（3）解：作GH⊥BE于H，如圖2，
在Rt△ABE中，AB=4，AE=1，BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∵△GBE為等腰三角形，
∴BH=EH，
∴BH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{17}$，
∵∠AEB=∠GBH，
∴Rt△ABE∽Rt△BGH，
∴$\frac{AB}{GH}$=$\frac{AE}{BH}$，即$\frac{4}{GH}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{2}}$，
∴GH=2 $\sqrt{17}$，
∴S_△BEG=$\frac{1}{2}$×BE×GE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{17}$×2 $\sqrt{17}$=17；
∵BG=$\sqrt{B{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\frac{17}{2}$，
∴CG=$\frac{9}{2}$，
∵AE=1AD=AB=4，
∴DE=3，
∵△DEF∽△CGF，
∴$\frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$，即$\frac{3}{\frac{9}{2}}=\frac{4-CF}{CF}$，
∴CF=$\frac{12}{5}$，
∴四邊形BEFC的面積=S_△BEG-S_△CFG=17-$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{52}{5}$．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質、等腰三角形的性質和全等三角形的判定與性質；會利用勾股定理和相似比進行幾何計算．