Question

在半徑為4的⊙O中，點C是以AB為直徑的半圓的中點，OD⊥AC，垂足為D，點E是射線AB上的任意一點，DF∥AB，DF與CE相交于點F，設EF=x，DF=y．
（1）如圖1，當點E在射線OB上時，求y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域；
（2）如圖2，當點F在⊙O上時，求線段DF的長；
（3）如果以點E為圓心、EF為半徑的圓與⊙O相切，求線段DF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由OD⊥AC得D是AC的中點，則F也是CE的中點，CE=2x，OC=4，DF=y，OE=2y-4，在Rt△COE中，由勾股定理得出y與x之間的關系．
（2）連接OC、OF，由EF=CE=OF=4求得CE，再求得OE、AE，則DF即可求出．
（3）此題需分兩種情況：當⊙E與⊙O外切于點B時、當⊙E與⊙O內切于點B時及當⊙E與⊙O內切于點A時分別求出DF的值．
解答：解：（1）連接OC．

∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴CD=AD．
∵DF∥AB，
∴CF=EF．
∴DF=AE=（AO+OE）．
∵點C是以AB為直徑的半圓的中點，
∴CO⊥AB．
∵EF=x，AO=CO=4，∴CE=2x，OE===2．
∴y=（4+2）=2+．定義域為x≥2；

（2）當點F在⊙O上時，連接OC、OF．

EF=CE=OF=4，
∴OC=OB=AB=4．
∴DF=2+=2+2．

（3）當⊙E與⊙O外切于點B時，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（x+4）²=4²，3x²-8x-32=0，
∴x₁=，x₂=（舍去）．
∴DF=（AB+BE）=（8+）=．
當⊙E與⊙O內切于點B時，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=，x₂=（舍去）．
∴DF=（AB-BE）=（8-）=．
當⊙E與⊙O內切于點A時，AE=FE．∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=，x₂=（舍去）．
∴DF=．

點評：此題考查了切線的性質、勾股形里及中位線的性質等內容，綜合性強，難度大．