Question

17．如圖，已知AB、AC與⊙O相切于點B、C，連接BO并延長交AC于點D．
若AB=6，BD=8．
（1）求⊙O的半徑r；
（2）求BC的長．

Answer 1

分析 （1）連接半徑OA，在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理列方程可求得r的值；
（2）由垂直平分線的逆定理得：OA是BC的中垂線，根據(jù)垂徑定理得：BE=CE，最后利用面積法列式可求得BE的長，所以BC=2BE．

解答 解：（1）連接OC，
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴AB=AC=6，OC⊥AD，BD⊥AB，
∴∠ABD=∠OCD=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CD=10-6=4，
∵⊙O的半徑r；
∴OB=OC=r，OD=8-r，
在Rt△OCD中，（8-r）²=r²+4²，
64-16r=16，
∴r=3，
（2）連接OA，交BC于E，
∵AB=AC，OB=OC，
∴OA是BC的中垂線，
∴BE=CE，
在Rt△ABO中，AO=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴S_△ABO=$\frac{1}{2}$AB•OB=$\frac{1}{2}$OA•BE，
6×3=3$\sqrt{5}$BE，
∴BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴BC=2BE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了切線長定理、線段垂直平分線的逆定理、勾股定理，熟練掌握切線長定理是本題的關(guān)鍵，在圓中的計算題中，常設(shè)半徑為r，根據(jù)勾股定理列方程解決問題．