Question

【題目】定義：對于平面直角坐標系xOy中的點P（a，b）和直線y=ax+b，我們稱點P（（a，b）是直線y=ax+b的關聯點，直線y=ax+b是點P（a，b）的關聯直線．特別地，當a=0時，直線y=b（b為常數）的關聯點為P（0，b）．

如圖，已知點A（-2，-2），B（4，-2），C（1，4）．

（1）點A的關聯直線的解析式為______；

直線AB的關聯點的坐標為______；

（2）設直線AC的關聯點為點D，直線BC的關聯點為點E，點P在y軸上，且S△DEP=2，求點P的坐標．

（3）點M（m，n）是折線段AC→CB（包含端點A，B）上的一個動點．直線l是點M的關聯直線，當直線l與△ABC恰有兩個公共點時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x-2，（0，-2）；（2）P（0，5）或P（0，3）；（3）-2≤m＜，或2＜m≤4

【解析】

（1）利用待定系數法求得直線AB的解析式，根據關聯點和關聯直線的定義可得結論；

（2）先根據關聯點求D和E的坐標，根據面積和列式可得P的坐標；

（3）點M分別在線段AC→CB上討論，根據直線l與△ABC恰有兩個公共點時，可得m的取值范圍．

解：（1）設直線AB的解析式為：y=kx+b，

把點A（-2，-2），B（4，-2）代入得：

，

解得：，

∴直線AB的解析式為：y=-2，

∴點A的關聯直線的解析式為y=-2x-2；

直線AB的關聯點的坐標為：（0，-2）；

故答案為：y=-2x-2，（0，-2）；

（2）∵點A（-2，-2），B（4，-2），C（1，4）．

∴直線AC的解析式為y=2x+2，

直線BC的解析式為y=-2x+6，

∴D（2，2），E（-2，6）．

∴直線DE的解析式為y=-x+4，

∴直線DE與y軸交于點F（0，4），如圖1，

設點P（0，y），

∵S△DEP=2，

∴S△DEP=S△EFP+S△DFP

=×|-2|+=2，

解得：y=5或y=3，

∴P（0，5）或P（0，3）．

（3）①當M在線段AC上時，如圖3，

∵AC：y=2x+2，

∴設M（m，2m+2）（-2≤m≤1），則關聯直線l：y=mx+2m+2，

把C（1，4）代入y=mx+2m+2得：m+2m+2=4，m=，

∴-2≤m＜；

②當M在線段BC上時，如圖3，

∵BC：y=-2x+6，

∴設M（m，-2m+6）（1≤m≤4），則關聯直線l：y=mx-2m+6，

把A（-2，-2）代入y=mx-2m+6得：-2m-2m+6=-2，m=2，

∴2＜m≤4；

綜合上述，-2≤m＜或2＜m≤4．