Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=14，∠B=45°，tanA=，點D為AB中點．動點P從點D出發，沿DA方向以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，點P關于點D對稱點為點Q，以PQ為邊向上作正方形PQMN．設點P的運動時間為t秒．

（1）當t=______秒時，點N落在AC邊上．

（2）設正方形PQMN與△ABC重疊部分面積為S，當點N在△ABC內部時，求S關于t的函數關系式．

（3）當矩形PQMN的對角線所在直線將△ABC的分為面積相等的兩部分時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）S= ；（3）t的值為4-7或7-7

【解析】

（1）作CG⊥AB，由∠B=45°可設BG=CG=h，AG=14-h，根據tanA=求得h=8，再證△APN∽△AGC得，據此求解可得；（2）分點M在△ABC內部和外部兩種情況：點M在△ABC內部時，重疊部分面積即為正方形的面積；點M在△ABC外部時，重疊部分面積=正方形PQMN的面積-△EMF的面積，據此求解；（3）分直線PM和直線QN將△ABC面積平分的兩種情況分別求解可得．

（1）如圖1，作CG⊥AB于點G，

設BG=h，∵∠B=45°，AB=14，

∴CG=BG=h，AG=14-h，

∵tanA=，即，

解得：h=8，

則AG=6，

∵DP=DQ=t，

∴PN=PQ=2t，

由PN∥CG知△APN∽△AGC，

∴，即，

解得：t=，

故答案為：．

（2）①如圖2，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴∠BQM=90°，

∵∠B=45°，

∴BQ=MQ，即7-t=2t，

解得t=，

故當0＜t≤時，S=（2t）2=4t2；

②如圖3，

∵∠BQF=90°，∠B=45°，

∴BQ=FQ=7-t，∠BFQ=∠MFE=45°，

則MF=MQ-QF=3t-7，

∵∠M=90°，

∴ME=MF=3t-7，

則S=（2t）2-×（3t-7）2=-t2+21t-（＜t＜）；

綜上，S=．

（3）S△ABC=ABCG=×14×8=56，

①如圖4，作HR⊥AB于點R，

∵四邊形PQMN為正方形，且PM為對角線，

∴∠HPB=∠B=45°，

∴HR=PB=×（14-7+t）=，

∵PM將△ABC面積平分，

∴S△PBH=S△ABC，

則（7+t）=×56，

解得t=-7+4（負值舍去）；

②如圖5，作KT⊥AB于T，

設KT=4m，由tanA=知AT=3m，

∵∠KQT=45°，

∴KT=QT=4m，

則AQ=3m+4m=7m，

又AQ=14-（7-t）=7+t，

則7m=7+t，

∴m=，

∵直線NQ將△ABC面積平分，

∴S△AKQ=S△ABC，即×7m×4m=×56，

整理，得：m2=2，

則（span>）2=2，

解得：t=-7+7（負值舍去），

綜上，t的值為4-7或7-7．