Question

已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5．試問：k取何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

Answer 1

【答案】分析：△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，即AB，AC的平方和是25，則一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根的平方和是25，根據韋達定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方程，檢查k是哪個值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形則可．
解答：解：設邊AB=a，AC=b
∵a、b是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩根
∴a+b=2k+3，a•b=k²+3k+2
又∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且BC=5
∴a²+b²=5²，
即（a+b）²-2ab=5²，
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0
∴k₁=-5或k₂=2
當k=-5時，方程為：x²+7x+12=0
解得：x₁=-3，x₂=-4（舍去）
當k=2時，方程為：x²-7x+12=0
解得：x₁=3，x₂=4
∴當k=2時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．
點評：此題主要考查一元二次方程的根與系數的關系及勾股定理的應用．求出k的值后，一定要代入原方程進行檢驗．