Question

下列說法：
①如圖1，△ABC中，AB=AC，分別在AB、BC的延長線上截取數點G、H，使BG=BH，延長AC交GH于點K，且AK=KG，則∠BAC=30°．
②已知：△ABC中，∠ABC=45°，P為BC邊上一點，且PC=2PB，∠APC=60°，則∠ACB=75°．
③在正方形網格中，網格線的交點稱為格點，如圖2，A、B是兩格點，若C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C有10個．
④在等邊△ABC所在的平面內求一點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質的點P有10個．
其中，正確的有

②③④

（填寫序號，少選、錯選均不得分）

Answer 1

分析：（1）由條件AB=AC可以求出∠ABC=∠ACB，BG=BH可以得出∠G=∠H，又AK=KG可以得出∠A=∠G，有∠ABC=∠G+∠H，根據三角形的內角和就可以求出∠BAC的度數；
（2）根據題意畫出圖形，由三角形內角和定理求出∠DCP=30°，求證PB=PD；再根據三角形外角性質求證BD=AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°從而求出∠ACB的度數；
（3）分AB是腰長時，根據網格結構，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形，AB是底邊時，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，AB垂直平分線上的格點都可以作為點C，然后相加即可得解；
（4）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，作邊AB的垂直平分線，在以頂點A、C為圓心，以邊長為半徑畫弧，與垂直平分線相交于3個點，同理可得邊BC、AC上也分別有3個點，再加上等邊三角形的外心，計算即可求出．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BG=BH，
∴∠G=∠H．
∵AK=KG，
∴∠A=∠G，
∴∠A=∠G=∠H．
∵∠ABC=∠G+∠H，
∴∠ABC=∠ACB=2∠A，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠A+2∠A+∠A=180，
∴∠A=36°≠30°，故本答案錯誤；

（2）過C作AP的垂線CD，垂足為點D．連接BD；
∵△PCD中，∠APC=60°，
∴∠DCP=30°，PC=2PD，
∵PC=2PB，
∴BP=PD，
∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，
∵∠ABP=45°，
∴∠ABD=15°，
∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，
∴∠ABD=∠BAD=15°，
∴BD=AD，
∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，
∴BD=DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD=AD，
∴AD=DC，
∵∠CDA=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故本答案正確；

（3）如圖，AB是腰長時，紅色的4個點可以作為點C，
AB是底邊時，黑色的6個點都可以作為點C，
所以，滿足條件的點C的個數是6+4=10．故本答案正確；

（4）如圖，等邊三角形AB邊的垂直平分線上可作3個點P，
同理：AC、BC上也分別有3個點，另外，△ABC的外心也是滿足條件的一個點，
所以，共有3+3+3+1=10個．
故答案為：10．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查等腰三角形的性質及判定，三角形內角和定理，三角形外角的性質，勾股定理的運用，熟練掌握網格結構的特點是解題的關鍵，注意一邊的垂直平分線上在三角形的外部有3個點，最后不要漏掉了三角形的外心．