Question

8．如圖，在?ABCD（AB＞AD）中，點E在邊AB上，以點E為圓心，AE長為半徑的⊙E分別交AB、AD于點N、N，與BC所在的直線相切于點G
（1）求證：EG∥MN；
（2）若AB=10，AD與BC之間的距離為6，求⊙E的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質可知∠1=∠2，根據直徑所對的圓周角是直角可知∠ANM=90°，根據切線的性質可知∠BGE=90°，根據等角的余角相等可知∠3=∠4，即可證明EG∥MN；
（2）作AH⊥CG延長線于H，易證△BEG∽△BAH，根據對應邊成比例得到BE與AE的數量關系，根據AE+EB=AB列方程求出AE即可．

解答 解：如圖所示，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠1=∠2，
∵AM是⊙E的直徑，
∴∠ANM=90°，
∵BC所在的直線與⊙E相切于點G，
∴∠BGE=90°，
∴∠3=∠4，
∴EG∥MN；
（2）作AH⊥CG延長線于H，
∵∠BGE=90°，
∴△BEG∽△BAH，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{EG}{EB}$，
∵AE=GE，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{EB}$，
∵AB=10，AH=6，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{EB}$=$\frac{3}{5}$，
∴BE=$\frac{5}{3}$AE，
∵AE+EB=AB，
∴AE+$\frac{5}{3}$AE=10，
解得：AE=$\frac{15}{4}$，
∴⊙E的半徑為$\frac{15}{4}$．

點評 本題主要考查了圓的有關性質、切線的性質、平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質的綜合運用，輔助線構造相似三角形是解決第2小題的關鍵．