Question

如圖，以△ABC的各邊為一邊向BC的同側作正△ABD、正△BCF、正△ACE，若∠BAC=150°，求證：四邊形AEFD為矩形．

Answer 1

分析：根據題中的等式關系可推出兩組對邊分別相等，從而可判斷四邊形DAEF為平行四邊形，又因為∠BAC=150°，所以∠DAE=150°-∠DAB-∠EAC=90°，從而證明：四邊形AEFD為矩形．

解答：解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
又∵BD=BA，BF=BC，
∴△ABC≌△DBF，
∴AC=DF=AE，
同理可證△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD，
∴四邊形DAFEF是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）
∵∠BAC=150°，
∴∠DAE=150°-∠DAB-∠EAC=90°，
∴四邊形AEFD為矩形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及矩形的性質，題目的綜合性比較好，難度不大．