Question

如圖，以△ABC的各邊向同側作正△ABD，BCF，ACE．
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）當△ABC是

等腰

三角形時，四邊形AEFD是菱形；
（3）當∠BAC=

150°

時，四邊形AEFD是矩形；
（4）當∠BAC=

60°

時，以A、E、F、D為頂點的四邊形不存在．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質得出AC=CE，BC=CF，∠ECA=∠BCF=60°，推出∠ACB=∠ECF，證△ACB≌△ECF，推出EF=AB，得出EF=AD=AB，同理FD=AE=AC，根據平行四邊形的判定即可推出答案；
（2）根據EF=AD=AB，FD=AE=AC，添加上AC=AB，推出EF=FD，即有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得出答案；
（3）根據∠DAB=∠EAC=60°和∠BAC=150°求出∠DAE=90°，根據矩形的判定推出即可；
（4）根據∠DAB=∠EAC=60°，∠BAC=60°，求出∠DAE=180°，得出D、A、E三點共線，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵△BCF和△ACE是等邊三角形，
∴AC=CE，BC=CF，∠ECA=∠BCF=60°，
∴∠ECA-∠FCA=∠BCF-∠FCA，
即∠ACB=∠ECF，
∵在△ACB和△ECF中

AC=CE ∠ACB=∠ECF BC=CF

，
∴△ACB≌△ECF（SAS），
∴EF=AB，
∵三角形ABD是等邊三角形，
∴AB=AD，
∴EF=AD=AB，
同理FD=AE=AC，
即EF=AD，DF=AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形．

（2）解：當△ABC是等腰三角形時，平行四邊形AEFD是菱形，理由如下：
∵由（1）知：四邊形AEFD是平行四邊形，EF=AD=AB，FD=AE=AC
∴AB=AC，
∴EF=FD，
∴平行四邊形AEFD是菱形，
故答案為：等腰．

（3）解：當∠BAC=150°時，平行四邊形AEFD是矩形，理由如下：
∵△ADB和△ACE是等邊三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∵由（1）知：四邊形AEFD是平行四邊形，
∴平行四邊形AEFD是矩形，
故答案為：150°．

（4）解：當∠BAC=60°時，以A、E、F、D為頂點的四邊形不存在，理由如下：
∵∠DAB=∠EAC=60°（已證），∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°+60°+60°=180°，
∴D、A、E三點共線，
即邊DA、AE在一條直線上，
∴當∠BAC=60°時，以A、E、F、D為頂點的四邊形不存在，
故答案為：60°．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，等邊三角形的性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．