Question

【題目】如圖，已知拋物線y= x2﹣ （b+1）x+ （b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含b的代數(shù)式表示）；
（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（b，0）；（0， ）
（2）

解：存在，

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接OP．

則S四邊形PCOB=S△PCO+S△POB= x+ by=2b，

∴x+4y=16．

過(guò)P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，

∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．

∴四邊形PEOD是矩形．

∴∠EPD=90°．

∴∠EPC=∠DPB．

∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．

由 解得

由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ﹣ =b﹣ ，

解得b= ＞2符合題意．

∴P的坐標(biāo)為（ ， ）

（3）

解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似．

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，

∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．

∴要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸．

∵b＞2，

∴AB＞OA，

∴∠Q0A＞∠ABQ．

∴只能∠AOQ=∠AQB．此時(shí)∠OQB=90°，

由QA⊥x軸知QA∥y軸．

∴∠COQ=∠OQA．

∴要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．

（I）當(dāng)∠OCQ=90°時(shí)，△CQO≌△QOA．

∴AQ=CO= ．

由AQ2=OAAB得：（ ）2=b﹣1．

解得：b=8±4 ．

∵b＞2，

∴b=8+4 ．

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，2+ ）．

（II）當(dāng)∠OQC=90°時(shí)，△OCQ∽△QOA，

∴ ，即OQ2=OCAQ．

又OQ2=OAOB，

∴OCAQ=OAOB．即 AQ=1×b．

解得：AQ=4，此時(shí)b=17＞2符合題意，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，4）．

∴綜上可知，存在點(diǎn)Q（1，2+ ）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似．

【解析】解：（1）令y=0，即y= x2﹣ （b+1）x+ =0，
解得：x=1或b，
∵b是實(shí)數(shù)且b＞2，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，0），
令x=0，
解得：y= ，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0， ），
故答案為：（b，0），（0， ）；
（1）令y=0，即y= x2﹣ （b+1）x+ =0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標(biāo)，令x=0，求出y的值即C的縱坐標(biāo)；（2）存在，先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），連接OP，過(guò)P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，利用已知條件證明△PEC≌△PDB，進(jìn)而求出x和y的值，從而求出P的坐標(biāo)；（3）存在，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似，有條件可知：要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸；要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分別討論求出滿足題意Q的坐標(biāo)即可．