Question

【題目】如圖，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點）．已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V；
（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取何值？

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，設AE=BF=x（cm），折成的包裝盒恰好是個正方體，

知這個正方體的底面邊長NQ=ME= x，則QE=QF= x，故EF= ME=2x，

∵正方形紙片ABCD邊長為24cm，

∴x+2x+x=24，

解得：x=6，

則 正方體的底面邊長a=6 ，

V=a3= =432 （cm3）；

答：這個包裝盒的體積是432 cm3

（2）解：設包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a= ，h= ，

∴S=4ah+a2=4 x （12﹣x）+ =﹣6x2+96x=﹣6（x﹣8）2+384，

∵0＜x＜12，

∴當x=8時，S取得最大值384cm2．

【解析】（1）根據已知得出這個正方體的底面邊長NQ=ME= x，EF= ME=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個包裝盒的體積V；（2）利用已知表示出包裝盒的表面，進而利用函數最值求出即可．