Question

我們將平分三角形的面積，又平分三角形的周長的直線稱為三角形的“平分線”．在△ABC中，AB=BC=10，AC=12．
（1）樂樂用直尺和圓規作出△ABC的一條“平分線”，請你幫樂樂在圖1中作出這條“平分線”（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）丁丁在圖2中作出△ABC的另一條“平分線”CD：過點C畫直線CD交AB于點D．你覺得丁丁的方法正確嗎？若正確，說明確定的方法；若不正確，請說明理由；
（3）請你找出△ABC的所有“平分線”，并說明確定的方法．

Answer 1

解：（1）如圖1．

（2）不正確．
∵在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，
BC≠AC，
∴AD=BD，也不能保證AC+AD=BD+BC，
∴這種作法不正確；

（3））①若直線經過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求．
②若直線不過頂點，直線與BC、AC分別交于E、F．
過點E作EH⊥AC于點H，過點B作BG⊥AC于點G．
∴BG=8，AG=CG=6．設CF=x，則CE=16-x．
∵△CEH∽△CBG，∴EH=（16-x）．
∴•x•（16-x）=24．
∴x₁=6（舍），x₂=10．
∴CF=10，CE=6，直線EF即為所求直線．
分析：（1）作出∠ABC的角平分線即可得出；
（2）根據等腰三角形的性質得出，線段之間的關系從而確定答案正確性；
（3）①若直線經過頂點，則AC邊上的中垂線即為所求．②若直線不過頂點，利用直線與BC、AC分別交于E、F，CF=10，CE=6求出即可．
點評：此題主要考查了等腰三角形的性質以及三角形的面積求法，正確利用等腰三角形的三線和是解決問題的關鍵．