【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連接PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ．
(1) 觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論；
(2) 若PA：PB：PC=3：4：5，連接PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．
【答案】（1）AP=CQ，證明見解析（2）△PQC是直角三角形，證明見解析
【解析】
根據等邊三角形的性質利用SAS判定△ABP≌△CBQ，從而得到AP=CQ；設PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ為正三角形從而可得到PQ=4a，再根據勾股定理判定△PQC是直角三角形．
(1)猜想：AP=CQ，
證明：∵∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC.
又AB=BC，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
(2)由PA:PB:PC=3:4:5,
可設PA=3a，PB=4a，PC=5a，
連接PQ，在△PBQ中
由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°，
∴△PBQ為正三角形.
∴PQ=4a.
于是在△PQC中
∵PQ
+QC=16a+9a=25a=PC
∴△PQC是直角三角形.
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【題目】材料閱讀：材料1：符號“
”稱為二階行列式，規定它的運算法則為
．如
．
材料2：我們已經學習過求解一元一次方程、二元一次方程組、分式方程等方程的解法，雖然各類方程的解法不盡相同，但是蘊含了相同的基本數學思想——轉化，把未知轉化為已知．用“轉化”的數學思想，還可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程
時，我們可以利用因式分解把它轉化為一元一次方程來求解．如解方程：
．∵
∴
．故
或
．因此原方程的解是
，
．
根據材料回答以下問題：
（1）二階行列式
___________；二階行列式
中
的值為__________．
（2）求解
中的值．
（3）結合材料，若
，
，且
，求的取值范圍．
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【題目】如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點D（5，3）在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉90°，則旋轉后點D的對應點D′的坐標是 ．
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【題目】小亮從家步行到公交站臺，等公交車去學校．圖中折線表示小亮的行程
與所花時間
之間的函數關系．下列說法:
他離家
共用了
；
他等公交車的時間是
；
他步行的速度是
；
公交車的速度是
．正確的有________________(只填正確說法的序號)．
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【題目】學完二元一次方程組的應用之后，老師寫出了一個方程組如下：
，要求把這個方程組賦予實際情境．
小軍說出了一個情境：學校有兩個課外小組，書法組和美術組，其中書法組的人數的二倍比美術組多5人，書法組平均每人完成了4幅書法作品，美術組平均每人完成了3幅美術作品，兩個小組共完成了40幅作品，問書法組和美術組各有多少人？
小明通過驗證后發現小軍賦予的情境有問題，請找出問題在哪？
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【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．
（1）求證：GF=GC；
（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明．
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