Question

已知：?ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是直線BD上任意一點(diǎn)（異于B、O、D三點(diǎn)），過(guò)P點(diǎn)作平行于AC的直線，交直線AD于E，交直線AB于F．
（1）若點(diǎn)P在線段BD上（如圖所示），試說(shuō)明：AC=PE+PF；
（2）若點(diǎn)P在BD或DB的延長(zhǎng)線上，試探究AC、PE、PF滿足的等量關(guān)系式（只寫出結(jié)論，不作證明）．

Answer 1

分析：（1）先判定四邊形AFGC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)知AC=FG；然后由被平行線所截的線段對(duì)應(yīng)成比例（

EP

OA

=

DP

DO

=

PG

OC

）求出PE與PG的數(shù)量關(guān)系，解答到此，來(lái)證明AC=PE+PF的問(wèn)題就迎刃而解了．
（2）推理類同于（1）．

解答：證明：（1）延長(zhǎng)FP交DC于點(diǎn)G，
∵AB∥CD，AC∥FG，
∴四邊形AFGC是平行四邊形，
∴AC=FG（平行四邊形的對(duì)邊相等），
∵EG∥AC，
∴

EP

OA

=

DP

DO

=

PG

OC

（被平行線所截的線段對(duì)應(yīng)成比例）；
又∵OA=OC，
∴PE=PG，
∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；

（2）若點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上，AC=PF-PE．如下圖所示

若點(diǎn)P在DB延長(zhǎng)線上，AC=PE-PF．如下圖所示．
．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．